Тут вже є щось цікаве :)
Ось всі сторінки:
Насправді, все дуже просто.
Зазначу формулу відстані черепашок від часу:
l = a - vt
Тобто, після певного часу t, наші черепашки розташовані на кутиках квадрата розміром a - vt.
Але траєкторія мусить бути однаковою для нового квадрата!
Єдине відношення, що змінилося, що могло би змінити траєкторію, це a:v, адже лише a зменшилося.
Але від швидкості не залежить траєкторія; лише залежить час проходження даної ділянки траєкторії.
Тобто у нас просто буде зменшена траєкторія; зменшена на (a - vt)/a = (1 - vt/a).
Тепер почнемо доведення: Нехай, якщо розмір початково квадрата зменшиться від a до a(1 - k) (де k - дуже мале число, і пройде час (ak)/v), то черепашки зроблять h обертів. Зрозуміло, що 0 < h < 1.
Тепер у нас ситуація повторюється: є новий квадратик a(1 - k) у якому черепашки теж пройдуть повну траєкторію.
Але розмір квадрата за деякий час може змінитися і ще раз: від a(1 - k) до a(1 - k)^2, зменшившись і ще раз на (1 - k).
А траєкторія однакова, тобто і ще досі черепашки зроблять h повного оберта. Разом вже 2h.
Узагальнючи, якщо черепашки скільки часу порухалися, щоб відстань між ними була a(1 - k)^n, то вони зроблять nh повних обертів.
Але: (1 - k)^n ніколи не сягає нуля, наскільки великим не був би n.
Але відстань, за час a/v, стає нулем, як відомо.
Тобто за час a/v n стає довільно великим; черепашки можуть порухатися до квадрата розміром a(1 - k)^n для довільного n.
А якщо n може бути довільно великим, то і nh може стати довільно великим, тобто і кількість обертів може стати довільно великим.