Скоро тут буде щось цікаве :)
Ось всі сторінки:
Як я би довів:
Відомо, що A = Nt, N = Fv.
Для того, щоб прискорити наше тіло до швидкості v0, ми зробимо константу силу F за яким тіло буде прискорюватися рівномірно.
Тобто N буде збільшуватися рівномірно. Тому треба A = Nct (використовуємо середню потужність) => A = (Nmin + Nmax)/2*t.
Nmin = 0, а Nmax = Fv0 => A = Fv0t/2. Тепер знайдемо t.
Відомо, що v = at (швидкість дорівнює прискорення на час) => t = v/a => t = v/(F/m) => t = vm/F.
Тепер підставлємо: A = Fv0(v0m/F)/2 = mv0^2/2.
Насправді, все дуже просто.
Зазначу формулу відстані черепашок від часу:
l = a - vt
Тобто, після певного часу t, наші черепашки розташовані на кутиках квадрата розміром a - vt.
Але траєкторія мусить бути однаковою для нового квадрата!
Єдине відношення, що змінилося, що могло би змінити траєкторію, це a:v, адже лише a зменшилося.
Але від швидкості не залежить траєкторія; лише залежить час проходження даної ділянки траєкторії.
Тобто у нас просто буде зменшена траєкторія; зменшена на (a - vt)/a = (1 - vt/a).
Тепер почнемо доведення: Нехай, якщо розмір початково квадрата зменшиться від a до a(1 - k) (де k - дуже мале число, і пройде час (ak)/v), то черепашки зроблять h обертів. Зрозуміло, що 0 < h < 1.
Тепер у нас ситуація повторюється: є новий квадратик a(1 - k) у якому черепашки теж пройдуть повну траєкторію.
Але розмір квадрата за деякий час може змінитися і ще раз: від a(1 - k) до a(1 - k)^2, зменшившись і ще раз на (1 - k).
А траєкторія однакова, тобто і ще досі черепашки зроблять h повного оберта. Разом вже 2h.
Узагальнючи, якщо черепашки скільки часу порухалися, щоб відстань між ними була a(1 - k)^n, то вони зроблять nh повних обертів.
Але: (1 - k)^n ніколи не сягає нуля, наскільки великим не був би n.
Але відстань, за час a/v, стає нулем, як відомо.
Тобто за час a/v n стає довільно великим; черепашки можуть порухатися до квадрата розміром a(1 - k)^n для довільного n.
А якщо n може бути довільно великим, то і nh може стати довільно великим, тобто і кількість обертів може стати довільно великим.
Давай уявимо, що ми хочемо знайти скалярний добуток двох векторів:
1. Такого, що його довжина 1 метр
2. Якийсь довільний вектор
Відомо, що (a, b) = |a|*|b|*cos(a).
Адже a довжиною 1 метр, ми можемо просто сказати (ігноруючи вимірності):
(a, b) = |b|*cos(a)
.
Але що таке наш кут a? Ну, його можна уявити як частина прямокутного трикутника.
Вектор b - гіпотенуза. Продовження вектора a - один із катетів, при якому лежить наш кут.
Це продовження, доречі, буде проєкцією вектора b на одновимірну систему координат, де лежить вектор a.
Але ми можемо знайти довжину цієї проєкції! Як нас вчили:
Довжина катета, прилеглої до кута, рівно добутку довжини гіпотенузи та косинуса кута.
Тобто |b|*cos(a).
Що і є скалярним добутком.
Так можна пояснити деякі речі: тепер очевидно, що якщо два вектори перпендикулярні, то скалярний добуток = 0.
Тому, що проєкція має довжину 0.
А якщо у протилежну сторону другий вектор, то проєкція у протилежну сторону від вектора a, і отже від'ємна.
Нехай, ми хочемо знайти таке f(n), щоб:
f(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2.
Для того щоб спростити завдання, визначимо два власивості f(n):
1. f(n) - f(n - 1) = (1^2 + 2^2 + ... + (n - 1)^2 + n^2) - (1^2 + 2^2 + ... + (n - 1)^2) = n^2.
2. f(0) = 0.
Ці два умови достатні, щоб f(n) був правильною формулою. Чому? Ось приклад для f(3):
f(3) = 3^2 + f(2) = 3^2 + 2^2 + f(1) = 3^2 + 2^2 + 1^2 + f(0) = 3^2 + 2^2 + 1^2.
Така формула називається РЕКУРСИВНОЮ.
Тепер попробуємо підставити f(n) = n^3. Можливо, щось вийде?
Перевіряємо першу умову: f(n) - f(n - 1) = n^3 - (n - 1)^3 = 3n^2 - 3n + 1.
Це вже близько, але ми би хтіли, щоб квадратний член многочлена був рівний 1.
Тому попробуємо f(n) = n^3/3: f(n) - f(n - 1) = (n^3 - (n - 1)^3)/3 = n^2 - n + 1/3.
Тепер у нас є проблема: ще є зайві - n + 1/3. Тому попробуємо додати ще щось до f(n), щоб це скоротити.
Попробуємо дізнатися, що станеться, якщо f(n) = n^2: f(n) - f(n - 1) = (n^2 - (n - 1)^2) = 2n - 1.
Це дуже близько, але нам треба додати n - 1/3, а не 2n - 1. Тому попробуємо n^2/2:
f(n) - f(n - 1) = (n^2 - (n - 1)^2) = n - 1/2.
Це дуже класно, адже (n^2 - n + 1/3) + (n - 1/2) = n^2 - 1/6. Це дуже близько.
Тому підставимо f(n) = n^3/3 + n^2/2: f(n) - f(n - 1) = (n^3/3 + n^2/2 - ((n - 1)^3/3 + (n - 1)^2/2)) = (n^3/3 - (n - 1)^3/3) + (n^2/2 - (n - 1)^2/2) = ... = n^2 - 1/6.
Лише залишилося -1/6 вбити. Тому підставимо f(n) = n: f(n) - f(n - 1) = n - (n - 1) = 1. Тобто, якщо f(n) = n/6, то f(n) - f(n - 1) = n/6 - (n - 1)/6 = (n - (n - 1))/6 = 1/6.
Тобто, теоретично, фінальною формулою є:
f(n) = n^3/3 + n^2/2 + n/6
Або, якщо вивести 6 як спільний знаменник:
f(n) = (2n^3 + 3n^2 + n)/6
Перевіримо обидва властивості:
f(n) - f(n - 1) = (2n^3 + 3n^2 + n)/6 - (2(n - 1)^3 + 3(n - 1)^2 + (n - 1))/6 = (2n^3 + 3n^2 + n - 2(n - 1)^3 - 3(n - 1)^3 - (n - 1)/6 = (2n^3 + 3n^2 + n - 2n^3 + 6n^2 - 6n + 2 - 3n^2 + 6n - 3 - n + 1)/6 = (6n^2)/6 = n^2.
f(0) = (2*0^3 + 3*0^2 + 0)/6 = 0.
Отже, це і є повною формулою!